Operações Aritméticas de Números Binários – ANAC AVIÔNICOS

Você já parou para pensar como os computadores realizam cálculos complexos em uma fração de segundo? A resposta está no coração da computação: o sistema binário. Diferente do nosso sistema decimal (base 10), o sistema binário (base 2) utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1. Essa simplicidade é a chave para a eficiência dos dispositivos eletrônicos, que representam informações através de estados de ligado (1) e desligado (0).

Seguindo o padrão da ANAC, Neste post vamos focar nas operações aritméticas fundamentais com números binários: soma, multiplicação e divisão, além de entender como converter números octais para binários.

Por Que o Binário é Tão Importante?

Os computadores e sistemas digitais operam internamente com o sistema binário. Cada “bit” (dígito binário) representa um estado elétrico, tornando o processamento de informações extremamente rápido e confiável. Entender como as operações aritméticas funcionam nesse sistema é fundamental para qualquer pessoa que queira compreender a lógica por trás da tecnologia.

1. Soma Binária: O “Vai Um” Digital

A soma binária é surpreendentemente similar à soma decimal, mas com um conjunto de regras mais simples, já que só temos 0 e 1. A operação é realizada bit a bit, da direita para a esquerda, considerando o “vai um” (carry) para a próxima coluna.

Regras Básicas:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (resulta em 0 e “vai 1” para a próxima posição)
• 1 + 1 + 1 = 11 (resulta em 1 e “vai 1” para a próxima posição, quando há um carry-in)

Exemplo:

Vamos somar os números binários 1011 e 1101.

  1011  (equivalente a 11 em decimal)
+ 1101  (equivalente a 13 em decimal)
------

Passo a passo:

1. Coluna da direita (bit menos significativo): 1 + 1 = 10. Escrevemos 0 e “vai 1” para a próxima coluna.
2. Segunda coluna: 1 (do "vai um") + 1 + 0 = 10. Escrevemos 0 e “vai 1” para a próxima coluna.
3. Terceira coluna: 1 (do "vai um") + 0 + 1 = 10. Escrevemos 0 e “vai 1” para a próxima coluna.
4. Quarta coluna: 1 (do "vai um") + 1 + 1 = 11. Escrevemos 1 e “vai 1” para a próxima coluna.
5. Último “vai um”: Como não há mais colunas, o 1 restante é adicionado à esquerda.

  1 1 1  (carries)
  1011
+ 1101
------
 11000  (equivalente a 24 em decimal)

2. Multiplicação Binária: Repetições e Deslocamentos

A multiplicação binária segue um processo análogo à multiplicação decimal. Ela envolve a multiplicação de cada bit do multiplicador pelos bits do multiplicando, seguida pela soma dos produtos parciais, com deslocamentos.

Regras Básicas:

• 0 x 0 = 0
• 0 x 1 = 0
• 1 x 0 = 0
• 1 x 1 = 1

Exemplo:

Vamos multiplicar os números binários 101 e 11.

  101  (equivalente a 5 em decimal)
x  11  (equivalente a 3 em decimal)
----

Passo a passo:

1. Multiplicar 101 por 1 (primeiro dígito do multiplicador, da direita para a esquerda): 101
2. Multiplicar 101 por 1 (segundo dígito do multiplicador), deslocando uma posição para a esquerda: 1010
3. Somar os produtos parciais:

  101
+ 1010
------
 1111  (equivalente a 15 em decimal)

3. Divisão Binária: A Subtração Repetida

A divisão binária é similar à divisão longa que aprendemos no sistema decimal. O processo envolve subtrações repetidas do divisor do dividendo, verificando quantas vezes o divisor “cabe” no dividendo parcial.

Exemplo:

Vamos dividir 1100 por 10.

1100 ÷ 10

Passo a passo:

1. Verifique quantos dígitos do dividendo são necessários para que o divisor “caiba”: 11 (binário) é maior ou igual a 10 (binário).
2. Divida 11 por 10: O quociente é 1.
3. Multiplique o quociente (1) pelo divisor (10): 1 x 10 = 10.
4. Subtraia o resultado do dividendo parcial: 11 - 10 = 01.
5. Baixe o próximo dígito do dividendo (0): O novo dividendo parcial é 010.
6. Divida 010 por 10: O quociente é 1.
7. Multiplique o quociente (1) pelo divisor (10): 1 x 10 = 10.
8. Subtraia o resultado do dividendo parcial: 010 - 10 = 00.
9. Baixe o próximo dígito do dividendo (0): O novo dividendo parcial é 000.
10. Divida 000 por 10: O quociente é 0.

      110  (quociente)
   _______
10 | 1100
   - 10
   ----
    010
   - 10
   ----
     000
    - 00
    ----
      00  (resto)

Portanto, 1100 dividido por 10 é igual a 110 (equivalente a 12 dividido por 2 é igual a 6 em decimal).

4. Conversão de Octal para Binário: Duas Abordagens

Converter um número octal para binário é uma operação comum, especialmente em contextos de programação e sistemas digitais. Existem duas abordagens principais:

Abordagem 1: Via Base 10 (Método mais longo, mas válido)

Este método envolve converter o número octal para sua representação decimal e, em seguida, converter o número decimal para binário.

Exemplo: Converter 27 (octal) para binário.

1. Octal para Decimal:27 (octal) = (2 * 8^1) + (7 * 8^0)= (2 * 8) + (7 * 1)= 16 + 7= 23 (decimal)
2. Decimal para Binário: Dividimos 23 sucessivamente por 2 e anotamos os restos: 23 ÷ 2 = 11 (resto 1) 11 ÷ 2 = 5 (resto 1) 5 ÷ 2 = 2 (resto 1) 2 ÷ 2 = 1 (resto 0) 1 ÷ 2 = 0 (resto 1)Lendo os restos de baixo para cima: 10111 (binário).Portanto, 27 (octal) = 10111 (binário).

Abordagem 2: Conversão Direta (Método mais eficiente)

A forma mais direta e comum de converter octal para binário é converter cada dígito octal diretamente para seu equivalente binário de três bits. Isso é possível porque 8 é uma potência de 2 (2^3 = 8).

Exemplo: Converter 27 (octal) para binário.

1. Converta cada dígito octal individualmente:
   • 2 (octal) = 010 (binário)
   • 7 (octal) = 111 (binário)
2. Junte os resultados: 010111 (binário).Portanto, 27 (octal) = 010111 (binário). Note que o zero à esquerda pode ser omitido, resultando em 10111.

Glossário

Este glossário define os termos chave relacionados ao sistema binário, suas operações aritméticas e a conversão entre diferentes bases numéricas.

• Base (Numérica): O número de dígitos ou símbolos distintos que um sistema numérico utiliza para representar números. Por exemplo, o sistema decimal tem base 10 (0-9), o binário tem base 2 (0-1) e o octal tem base 8 (0-7).
• Binário: Um sistema numérico de base 2, que utiliza apenas dois dígitos: 0 e 1. É a linguagem fundamental dos computadores e sistemas digitais.
• Bit: Contração de “binary digit” (dígito binário). É a menor unidade de informação em um sistema digital, representando um 0 ou um 1.
• Carry (Vai Um): Em operações de soma (como a soma binária), o “carry” é o dígito que é “levado” para a próxima posição de maior valor quando a soma dos dígitos em uma coluna excede a capacidade da base. No binário, 1 + 1 resulta em 0 com um carry de 1.
• Conversão de Base: O processo de transformar um número de uma base numérica para outra, mantendo o mesmo valor. Por exemplo, converter um número decimal para binário ou um octal para binário.
• Decimal: O sistema numérico de base 10, o mais comum no dia a dia, que utiliza dez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
• Dígito Mais Significativo (MSB – Most Significant Bit): O bit (ou dígito) mais à esquerda em um número binário (ou em qualquer sistema numérico), que possui o maior valor posicional.
• Dígito Menos Significativo (LSB – Least Significant Bit): O bit (ou dígito) mais à direita em um número binário (ou em qualquer sistema numérico), que possui o menor valor posicional.
• Divisão Binária: A operação aritmética de divisão realizada com números no sistema binário, análoga à divisão longa no sistema decimal.
• Multiplicação Binária: A operação aritmética de multiplicação realizada com números no sistema binário, envolvendo a soma de produtos parciais deslocados.
• Octal: Um sistema numérico de base 8, que utiliza oito dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). É frequentemente usado como uma forma compacta de representar números binários, pois cada dígito octal corresponde a exatamente três bits binários.
• Operações Aritméticas: As operações matemáticas básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão) aplicadas a números. No contexto, referem-se a essas operações realizadas no sistema binário.
• Soma Binária: A operação aritmética de adição realizada com números no sistema binário, seguindo regras específicas para 0s e 1s e o conceito de “carry”.